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第7章（第2页）

对第一种错误论调只说这么多就够了。第二种错误论调就更有趣了。

第二种论调是这样的：一台基于数学公理（所谓皮亚诺公理）运行的计算机，无法证明海格力斯可以击败九头蛇。①但是，因为我们都知道数学是具有一致性的，所以你和我都知道海格力斯是可以击败九头蛇的。因此，你和我都知道那些连计算机都证明不了的东西。所以，你和我的大脑比任何计算机都强大。

当我还是个孩子的时候，我有一个绝对好玩的玩具叫“第一代数码计算机”。我很高兴地看到，在销声匿迹几十年后，这款玩具又出现在了市场上。“第一代数码计算机”完全就是一台机械计算器：它利用弹簧和橡皮筋来运行，而且你必须使用一个工具来初始化它的状态。编程的办法是把细小的塑料管（从饮料吸管剪下来的）贴上合适的标签，而运行程序的办法则是推动当中的一个杠杆。计算机的背面完全暴露在外面，所以你能看到塑料管、橡皮筋互相推来推去。玩过“第一代数码计算机”的孩子可以深刻洞察到计算机的工作原理。

你可以用“第一代数码计算机”编程来设计游戏，尽管设计出来的游戏不可能太复杂。它的计数能力最多只有8位。我可以下棋（但不是绝顶高手），而且我可以准确地预计出300种可能发生的情况。这是否证明我的大脑比任何计算机都强大呢？不，这只能证明我的大脑比“第一代数码计算机”强大。

同样，海格力斯打九头蛇的游戏也只能证明你和我的大脑比某些计算机强大，并不能证明它们比任何计算机都强大。一台只能依照皮亚诺公理运转的计算机是不能得出海格力斯总是可以击败九头蛇的结论的。但一台依照皮亚诺公理和表明数学内部一致性的“超级公理”（或者就此而言，证明海格力斯总可以击败九头蛇的公理）运转的计算机可以很容易得出这样的结论。

不完备的人类思维（2）

如果你真的想要提出一个哥德尔式的命题，比如人类的思维能力比计算机的运算能力更强大，你不如把论证做得更漂亮些。下面便是一种尝试：你和我“刚刚发现”，一旦你接纳了数学公理，你就可以同样接纳“超级公理”。你可以断言，没有电脑可以产生这样的跳跃性思维。

不幸的是，针对这个命题，我们可以很容易就制造出一台能产生这样的跳跃性思维的计算机。首先，你将皮亚诺公理输入计算机。然后，你按下计算机边上的蓝色运行按钮。当按钮被按下时，一个新的公理便被加入了，其内容正是，计算机已经检验到目前已知的公理都是具有一致性的。最终，你不妨给计算机加装一条机器臂，以至于它每次需要使用一个新公理来做证明时，它都可以自己去按下那个蓝色按钮。

现在，我们已经制造出一台能够“只意识到”添加“超级公理”很合理的计算机。然后，如果有需要的话，它可以继续按下按钮，而且“只意识到”添加“超超级公理”（其内容便是包括“超级公理”在内的所有公理都是具有一致性的）也很合理。依此类推下去，它就像一个人。

然而，这里好像仍然有一点是人能做到而计算机做不到的：你和我可以意识到“终极公理”（无论按下蓝色按钮多少次，得到的公理总是具有一致性的）也很合理。但是这意味着你和我比任何计算机都强大了吗？不，这只会让我们显得比这台计算机强大。只需制造一台一按下红色按钮就可导入“终极公理”的计算机，就能证明我们并不比这台计算机强大。

依此类推。你可以告诉我思考出的任何“只意识到”的添加到你的理论里会很合适的公理，我来为计算机添加按钮以便体现这些原则。

虽然还不够完全，但这已经足以揭示第二种论调的错误之处了。我们还可以尝试用最后一搏来修复它：当然，如果我把自己加入公理的原则告诉你，你就可以制造出体现这些原则的计算机。但是，我的原则是无限的。我有一个原则，即无论你按下多少次按钮，你的理论依旧是具有一致性的。你可以再用一个绿色的按钮来表述它，但我再加入一个新原则，即无论你按下多少次绿色按钮，你的理论依旧是具有一致性的。无论你制造了多么强大的计算机，我总能找出你没有预置进计算机当中的原则。所以，没有计算机能跟我的大脑一样强大。

因此，当你使用到更高层次的原则时，把握住每一个原则的含义就更加困难了，更不用说还要确认它的正确性了。你真的确认，运用很多次很多次很多次很多次“按下蓝色按钮很合理”的原则的原则的原则的原则以后，你还能保持数学具有一致性的观点不变吗？按照托克尔·弗兰岑的话来说就是：

当我们继续制定更有力、更广泛的原则，将一个正确的理论放大为一个更丰富且正确的理论时，我们就要面对一系列问题，一系列需要用“的确如此”还是“显然不对”来回答的问题……不同的数学家、哲学家对于这些问题会给出不同的答案，甚至会有很多人说并没有明确的答案。为了设计出一个能完全模仿人类数学家的反应的机器人，我们原本应该提供给它类似的参考答案的范围。除非我们做到了这一点……否则，我们就没有理由宣称人类数学家可以证实所有机器人无法证实的内容。可是，我们其实只是成功地将机器人变得跟人类一样，而机器人在从一个影响深远的正确理论思考出更强有力的正确理论的过程中，是思维混乱的、无法确认结果的。

换言之，你的思维中能够很自然就接纳的原则很可能并不是无限的，而且只要它们不是无限的，我就可以将它们全部输入到一台计算机里去。哥德尔的理论并不能用来反驳这点。

纯粹的逻辑（1）

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