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第5章（第3页）

经过深思，我们还是可以了解这种没有逻辑和证据支持的信念，这似乎并不奇怪。毕竟，蜘蛛知道如何织网，并不需要去寻找“第一定理”来推断出织网技术或者认真观察其他蜘蛛的工作过程以便推断出来。你可以辩解说蜘蛛的本能反应是下意识的，而这不能算是知识。但是，如果蜘蛛可以硬生生地开始织网，为什么人们不可以也硬生生地理解数学呢？从原则上来讲，我找不到反对人们硬生生地理解数学的理由。

那么，我们的信念必须满足一些其他的基础，然后才被划分为信仰、直觉、本能、启示或者“超感官知觉”等（我无法确认到底有多少名字用来描述这同一类事物）。其实，这一切或许正是因为人类的大脑（至少我的大脑）是由很多相连的部分组成的，这样说只是我的错觉但也可能是真理。从某种意义上来说，我对于数学法则的了解与教皇（所声称的）对于神明的了解的程度是处在同一水平线上的。我相信，关键的区别是，我是正确的，而教皇是错误的。

质疑这些自称直接了解神明的人们的一个重要原因是，他们之间存在着太多分歧，以至于无法在细节上达成一致。诚然，即便在更有限的层面上，同样的告诫也适用于类似我这样自称直接了解数学的人。数学真相容易被那些直觉敏锐的人理解，这一点已经由不同时代、不同地点的不同的人以不同的方式证实过了。公元1888年，伟大的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）证明了自己的“基础命题”（Basis Theorem），这个命题标志着现代代数的创立。他通过“将无限集合当成具体的对象”这一前所未有的创举作出了证明，他的学术对手保罗·戈尔丹（Paul Gordan）对此嘲笑说：“这好像不是数学，而是神学了。”然而，这一技巧创新几年后就带来了丰硕的研究成果，甚至戈尔丹也不得不承认“神学也有用处”。

在公元1888年，希尔伯特的新技巧引起了争议，但10年后它就成了主流；今天几乎没有数学家（当然叶塞林–沃尔平除外）会怀疑它们。叶塞林–沃尔平认可的、戈尔丹认可的、希尔伯特认可的和今天我们所认可的事物之间存在着明显的代沟。我自己对于现代数学的信念，以及对于证明希尔伯特“基础命题”的技巧的信念，是非常稳固的，虽然很可能这种稳固程度赶不上我对于基本数学法则的一致性的坚信。

永恒的数学（3）

不证自明的数学公理

但是，作为数学的核心内容的数学直觉在历史上并没有发生实质性的变化。对于计数和数学法则的基本事实，毕达哥拉斯“仅仅得知”的内容与你和我今天仅仅得知的内容相同。欧几里得做证明题的思路也或多或少和我们的思路一样。此外，尽管欧几里得的很多证明在今天被认为是不够充分的，但如果当时有人向欧几里得当面指出这些不足，欧几里得还是会意识到这些证明确实不够充分。欧几里得有时候得到的结果和现代的标准答案不一样，但那并不是因为他的标准跟我们的不一样，而只是因为他犯错了。每个人都会犯错。

换句话说，我们所奉行的这些不证自明的数学真理在千百年间是几乎没有发生变化的。当我们学习数学的时候，我们挑选出这些真理并称它们为公理。数学法则当中的公理数不胜数，然而，如果你有兴趣的话，我可以把它们都为你描述一遍。（如果你不感兴趣，可以跳过接下来这一两页的内容。）

首先是最基础的4条公理：

? 0是一个自然数。

? 每个自然数都有“直接承续者”（immediate successor）。

? 两个自然数不可能会有同样的“直接承续者”。

? 0不是任何自然数的“直接承续者”。

这4条公理是最基础的，可以推导出无数条公理。以下则是另外一些公理：

? 如果偶数存在，则肯定存在最小的偶数。

? 如果质数存在，则肯定存在最小的质数。